الهندســـة الإقليديــة والـلا إقليديــة
أولا: الهندسة الإقليدية(هندسة السطوح المستوية):
تعد هندسة إقليدس Euclid أو هندسة السطوح المستوية أبسط أنواع الهندسة. وضع إقليدس كتاب
العناصر الذي ألفه حوالي عام 300 قبل الميلاد وقد جمع فيه كل معارف البشر المتاحة له حتى زمانه في العلوم
الرياضية وشرحها وصاغها بإسلوب منطقي رائع كما سد الثغرات في العديد من تلك المعارف الهندسية.
وضع إقليدس عدد كبيرا من التعاريف المتعلقة بالموضوعات الهندسية (ومن طرائف الأمور أنه لم يضع تعريفاً محدداً
لبعض الأشكال الهندسية مثل النقطة وغيرها ولم يتمكن أحفاده الرياضيين من تعريف ما لم يعرفه إقليدس)
بالإضافة إلى عشر فرضيات إستند عليها في إشتقاق نظريات الهندسة الإقليدية المعروفة وضمن هذه الفرضيات
خمس بديهات وخمس مسلمات.
الخمس بديهات هي: common notions
1-الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية فيما بينها.
2-إذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية
3-إذا طرحت مقادير متساويةمن أخرى متساوية تكون البواقي متساوية.
4-الأشياء المتطابقة متساوية.
5-الكل أكبر من جزئه.
الخمس مسلمات هي: Basic postulates
1-يمكن الوصول بين أي نقطتين بخط مستقيم.
2-يمكن مد الخط المستقيم من طرفيه إلى غير حد.
3-يمكن رسم الدائرة إذا علم مركزها ونصف قطرها.
4-جميع الزوايا القوائم متساوية.
5-إذا قطع مستقيمان بمستقيم ثالث بحيث يكون مجموع الزاويتين الداخلتين الواقعتين على جهة واحدة من القاطع أقل من قائمتين فإن المستقيمين يتلاقيان من تلك الجهة من القاطع إذا مدا إلى غير حد.
وظلت هندسة إقليدس تمثل أسس علم الهندسة على مدى ألفين من السنين،وكان إختيار المسلمة الخامسة
لإقليدس بصفة خاصة أعظم ما أنتجه إقليدس، ولكن هل هذه المسلمة صحيحة أم أنها قد تكون مشتقة من
المسلمات الأربع السابقة؟
ويعلق جورج سارتون في كتابه "تاريخ العلم" على هذه المسلمة بقوله:
"قد يقول الشخص المتوسط الذكاء ان النظرية ظاهرة ولا تحتاج إلى برهان، ولكن الرياضي الأفضل يدرك فورا الحاجة إلى برهان ويحاول ان يعطيه..ويحتاج الأمر إلى عبقري خارق للعادة ، لا يجاد هذا البرهان ولكنه مستحيل....."
وعلى مدى ألفي عام حاول كبار علماء الرياضيات في الشرق والغرب أن يبرهنوا على صحة هذه المسلمة وباءت كل
تلك المحاولات بالفشل وفكر بعض العباقرة في أن يتخلصوا من تلك المسلمة ونجحوا في وضع بدائل لها ومن تلك
البدائل:
* إذا قطع مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه يقطع الأخر.
*من أي نقطة معلومة لا يمكن رسم إلا مستقيم واحد يوازي مستقيما معلوما.
*مجموع زوايا المثلث الثلاث الداخلة يساوي قائمتين (180درجة).
ورغم ان جميع محاولات علماء الرياضيات لحل المسلمة الخامسة باءت بالفشل فإن أعمالهم لم تذهب سدى بل
عملت على ظهور الهندسة الجيوديسية أو هندسة السطوح المنحنية أو الكرويات.
ثانيا: الهندسة اللا اقليدية:
وهي نوعان: هندسة السطوح المقعرة ،وهندسة السطوح المحدبة
(1) هندسة السطوح المقعرة
يطلق العلماء على الهندسة التي إكتشفها جاوس Gauss [فريدريش جاوس (1777 – 1855) ] -اثناء محاولاته لحل
المسلمه الخامسة لاقليدس- إسم هندسة السطح زائدي المقطع. ومجموع زوايا المثلث الذي يرسم على مثل هذه
السطح أقل من قائمتين . كما أنه من أي نقطة يمكن رسم أكثر من مستقيم توازي كلها مستقيم أخر.
وقد ذهب جاوس إلى القول بان الفضاء الذي نعرفه ذو هندسة لا اقليدية وحاول التأكد من صحة هذا التصور عمليا
بتجربة قام اجرائها في احدى المناطق الجبلية، حاول فيها قياس زوايا المثلث الواقع بين ثلاث قمم جبلية غير انه لم
يصل إلى نتيجة قاطعة من خلال قياساته في تلك التجربة.
(2) هندسة السطوح المحدبة
كانت الهندسة التي اكتشفها جاوس و بوليا و لوباتشفسكي كل على حدة هي نوع واحد من الهندسة اللا إقليدية
وهي هندسة السطوح المقعرة وفي هذه الهندسة يكون مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة.
وبالقياس يجب ن يكون مجموع زوايا المثلث المرسوم على سطح محدب أكبر من 180درجة
ولم ينتبه الى هذه الحقيقة العلمية أي من جاوس أو بوليا أو لوباتشفسكي، وكانت من نصيب الرياضي الألماني
برنهارد ريمان Bernahard Riemann (1826- 1866)
كما أنه من نقطة ما على هذا السطح المحدب لا يمكن رسم مستقيم يوازي الآخر بمعنى أن جميع المستقيمات
تتقاطع ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة اذا نظر الانسان إلى خطوط الطول على سطح الكرة الأرضية حيث تتقاطع عند
القطبين بالرغم من كونها متوازية عند خط الإستواء وكان من رأي ريمان أن هذه الهنسة غير مناسبة للسطوح وتصور
إمكانية تطبيقها في ثلاثة أبعاد أو أربعة أبعاد أو أكثر من ذلك.
بسم الله الرحمن الرحيم
الهندســـة الإقليديــة والـلا إقليديــة
الهندســـة الإقليديــة والـلا إقليديــة
أولا: الهندسة الإقليدية(هندسة السطوح المستوية):
تعد هندسة إقليدس Euclid أو هندسة السطوح المستوية أبسط أنواع الهندسة. وضع إقليدس كتاب
العناصر الذي ألفه حوالي عام 300 قبل الميلاد وقد جمع فيه كل معارف البشر المتاحة له حتى زمانه في العلوم
الرياضية وشرحها وصاغها بإسلوب منطقي رائع كما سد الثغرات في العديد من تلك المعارف الهندسية.
وضع إقليدس عدد كبيرا من التعاريف المتعلقة بالموضوعات الهندسية (ومن طرائف الأمور أنه لم يضع تعريفاً محدداً
لبعض الأشكال الهندسية مثل النقطة وغيرها ولم يتمكن أحفاده الرياضيين من تعريف ما لم يعرفه إقليدس)
بالإضافة إلى عشر فرضيات إستند عليها في إشتقاق نظريات الهندسة الإقليدية المعروفة وضمن هذه الفرضيات
خمس بديهات وخمس مسلمات.
الخمس بديهات هي: common notions
1-الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية فيما بينها.
2-إذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية
3-إذا طرحت مقادير متساويةمن أخرى متساوية تكون البواقي متساوية.
4-الأشياء المتطابقة متساوية.
5-الكل أكبر من جزئه.
الخمس مسلمات هي: Basic postulates
1-يمكن الوصول بين أي نقطتين بخط مستقيم.
2-يمكن مد الخط المستقيم من طرفيه إلى غير حد.
3-يمكن رسم الدائرة إذا علم مركزها ونصف قطرها.
4-جميع الزوايا القوائم متساوية.
5-إذا قطع مستقيمان بمستقيم ثالث بحيث يكون مجموع الزاويتين الداخلتين الواقعتين على جهة واحدة من القاطع أقل من قائمتين فإن المستقيمين يتلاقيان من تلك الجهة من القاطع إذا مدا إلى غير حد.
وظلت هندسة إقليدس تمثل أسس علم الهندسة على مدى ألفين من السنين،وكان إختيار المسلمة الخامسة
لإقليدس بصفة خاصة أعظم ما أنتجه إقليدس، ولكن هل هذه المسلمة صحيحة أم أنها قد تكون مشتقة من
المسلمات الأربع السابقة؟
ويعلق جورج سارتون في كتابه "تاريخ العلم" على هذه المسلمة بقوله:
"قد يقول الشخص المتوسط الذكاء ان النظرية ظاهرة ولا تحتاج إلى برهان، ولكن الرياضي الأفضل يدرك فورا الحاجة إلى برهان ويحاول ان يعطيه..ويحتاج الأمر إلى عبقري خارق للعادة ، لا يجاد هذا البرهان ولكنه مستحيل....."
وعلى مدى ألفي عام حاول كبار علماء الرياضيات في الشرق والغرب أن يبرهنوا على صحة هذه المسلمة وباءت كل
تلك المحاولات بالفشل وفكر بعض العباقرة في أن يتخلصوا من تلك المسلمة ونجحوا في وضع بدائل لها ومن تلك
البدائل:
* إذا قطع مستقيم أحد مستقيمين متوازيين فإنه يقطع الأخر.
*من أي نقطة معلومة لا يمكن رسم إلا مستقيم واحد يوازي مستقيما معلوما.
*مجموع زوايا المثلث الثلاث الداخلة يساوي قائمتين (180درجة).
ورغم ان جميع محاولات علماء الرياضيات لحل المسلمة الخامسة باءت بالفشل فإن أعمالهم لم تذهب سدى بل
عملت على ظهور الهندسة الجيوديسية أو هندسة السطوح المنحنية أو الكرويات.
ثانيا: الهندسة اللا اقليدية:
وهي نوعان: هندسة السطوح المقعرة ،وهندسة السطوح المحدبة
(1) هندسة السطوح المقعرة
يطلق العلماء على الهندسة التي إكتشفها جاوس Gauss [فريدريش جاوس (1777 – 1855) ] -اثناء محاولاته لحل
المسلمه الخامسة لاقليدس- إسم هندسة السطح زائدي المقطع. ومجموع زوايا المثلث الذي يرسم على مثل هذه
السطح أقل من قائمتين . كما أنه من أي نقطة يمكن رسم أكثر من مستقيم توازي كلها مستقيم أخر.
وقد ذهب جاوس إلى القول بان الفضاء الذي نعرفه ذو هندسة لا اقليدية وحاول التأكد من صحة هذا التصور عمليا
بتجربة قام اجرائها في احدى المناطق الجبلية، حاول فيها قياس زوايا المثلث الواقع بين ثلاث قمم جبلية غير انه لم
يصل إلى نتيجة قاطعة من خلال قياساته في تلك التجربة.
(2) هندسة السطوح المحدبة
كانت الهندسة التي اكتشفها جاوس و بوليا و لوباتشفسكي كل على حدة هي نوع واحد من الهندسة اللا إقليدية
وهي هندسة السطوح المقعرة وفي هذه الهندسة يكون مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة.
وبالقياس يجب ن يكون مجموع زوايا المثلث المرسوم على سطح محدب أكبر من 180درجة
ولم ينتبه الى هذه الحقيقة العلمية أي من جاوس أو بوليا أو لوباتشفسكي، وكانت من نصيب الرياضي الألماني
برنهارد ريمان Bernahard Riemann (1826- 1866)
كما أنه من نقطة ما على هذا السطح المحدب لا يمكن رسم مستقيم يوازي الآخر بمعنى أن جميع المستقيمات
تتقاطع ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة اذا نظر الانسان إلى خطوط الطول على سطح الكرة الأرضية حيث تتقاطع عند
القطبين بالرغم من كونها متوازية عند خط الإستواء وكان من رأي ريمان أن هذه الهنسة غير مناسبة للسطوح وتصور
إمكانية تطبيقها في ثلاثة أبعاد أو أربعة أبعاد أو أكثر من ذلك.
