لقد عرف المصريون القدماء الجبر فاستعملوا معادلات من الدرجة الأولى و حلوها بطرق مختلفة كما عرفوا معادلات من الدرجة الثانية و حلوا مسائل تؤدي إليها ، و أقدم ما نعرف من علم الجبر عند المصريين نجده في بردى الكاتب المصري (أحمس) التي نسخها نحو 1650ق م ، و هو يذكر أنه نقل هذه البردية عن أصل يرجع إلى نحو 1850ق م ، و يبدوا من المعلومات الرياضية الموجودة في هذه البردية تعود إلى أيام فرعون زوسر أحد ملوك الأسرة الثالثة (نحو 3000ق م ) ، و صاحب هرم سقارة المدرج أقد الأبنية الحجرية في مصر و فيها نجد ما يدل على أن المصريين القدماء قد عرفوا المتواليات العددية و المتواليات الهندسية و قد عرفوا أيضا معادلات من الدرجة الثانية مثل المعادلتين : س2+ص2=100 ، ص=3/4س ،حيث س=8 ، ص= 6 ، و هذه المعادلة هي الأساس التاريخيلنظرية فيثاغورس أ2=ب2+ج2 ، و كان المصريون يسمون العدد المجهول (كومة) .
وبابل
و في حوالي 2000 ق م وضع البابليون القدماء جداول للمربعات و المكعبات و حلوا معادلات الدرجة الثانية و الثالثة
والاغريق
، كما عرف الإغريق الحل الهندسي لمعادلات الدرجة الثانية في عصر فيثاغورس ، و قد لمس الإسكندريون الحاجة إلى علم الجبر فبحث (ديوفانتس) الذي عاش في الإسكندرية في القرن الثالث الميلادي (250م) في حل معادلات الدرجة الثانية ذات المعاملات الموجبة ،
وحتى الهنود الحمر
كما عرف الهنود علم الجبر فقام (إرمابهاتا) بإيجاد عدد حدود المتوالية الحسابية التي عرف منها الحد الأول و الأساس و جموع الحدود ، و وضه (برهما جوبتا ) في القرن السابع الميلادي قاعدة لحل معامدلات الدرجة الثانية .
والعرب
و لقد اشتغل العرب بالجبر و ألفوا فيه بصورة علمية منظمة ، حتى أن (كاجوري) قال : (( إن العقل ليدهش عندما يرى ما عمله العرب في الجبر .. )) و من أشهر مؤلفاتهم كتاب ( الجبر و المقابلة ) لمحمد بن موسى الخوارزمي ، و كتاب الخيام في الجبر الذي نشره (ووبك في مارس 1851م) ، قسم العرب المعادلات إلى ستة أقسام و وضعوا حلولا لكل منها ، و استعملوا الرموز في الأعمال الرياضية و بحثوا في نظرية ذات الحدين ، و أوجدوا قانونا لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية ، و عنوا بالجذور الصماء و مهدوا لإكتشاف اللوغاريتمات .
و في القرن الثالث عشر الميلادي بدأت العلوم الرياضية عند العرب و غيرها تنتقل إلى أوربا عن طريق الأندلس فترجموا مؤلفات العرب في العلوم المختلفة و منها الجبر فقام الرهب جوردانس (حوالي 1220م) باستبدال الكلمات في العبارات الجبرية بالرموز ، و لقد فعل معاصره (فيبوناكي) نفس الشيء فألف كتابا عن الحساب و مبادئ علم الجبر أوضح فيه تأثره بكتابات الخوارزمي و أبي كامل العلمين العربيين .
وفي القرن السادس عشر توصل العلماء إلى حل معادلات الدرجة الثالثة و الرابعة ، و في القرنين السابع عشر و الثامن عشر توصلوا إلى نتائج باهرة في بحوثهم عن متسلسلات القوى و خواصها .
والغرب
و في القرن التاسع عشر بدأ اكتشاف علوم الجبر الأخرى فابتكر (هاملتون 1805-1865)جبر الرباعيات المسمى باسمه ، و نشر العالم الرياضي ( جراسمان 1809-1877) كتابا يحتوي على بعض أنواع الجبر العامة الأخرى ، و ابتكر العالم الإنجليزي (كيلي 1821-1895) جبر المصفوفات و كانت أبحاث ( بول 1815-1864) قد ظهرت منذ سنة 1854 و من بين هذه الأبحاث الجبر البولي ، كما ظهرت سنة 1881 أشكال فن لتوضيح الجبر البولي ، و اخترع بيرس سنة 1780 جبر التنسيق الخطي وشكرا
الهندسة هي دراسة مختلف أنواع الأشكال وصفاتها ، كما أنها دراسة علاقة الأشكال والزوايا والمسافات ببعضها ، وتنقسم الهندسة البسيطة إلى جزأين : الهندسة المستوية والهندسة الفراغية ، وفي الهندسة المستوية تدرس الأشكال التي لها بعدين فقط ، أي التي لها طول وعرض ، أما الهندسة الفراغية فتدرس الهندسة في ثلاثة أبعاد ، وتتعامل مع مفرغات مثل متوازيات المستطيلات ، والمجسمات الأسطوانية ، والأجسام مخروطية الشكل ، والأجسام الكروية ، الخ ... أي مع الأشكال التي لها طول وعرض وسمك .
اصل علم الهندسة
أصبحت الهندسة جزءا أساسيا من العلوم المعاصرة لا يمكن إحراز أي تقدم بدونها. فهل تعرفون كيف اكتشفت الهندسة؟ أصل كلمة هندسة باللغة الإنكليزي (جيومتري)يعود إلى لغة الإغريق القديمة ، وهي تتكون من كلمتين : "جيو" ومعناها الأرض ، "متري" ومعناها قياس ، وهكذا كانوا من أوائل الذين اكتشفوا الهندسة ، ففي كل سنة كان نهر النيل يفيض فيغرق الأرياف ، مما كان يؤدي إلى إزالة علامات الحدود بين تقسيمات الأرض المختلفة ، وكانوا لذلك بحاجة إلى طريقة ما لإعادة قياس قطع أراضهم ، فصمموا طريقة لوضع علامات للأراضي بمساعدة القوائم والجبال ، وكانوا يضعون قائم في الأرض في مكان مناسب ، وكان قائم أخر يوضع في مكان أخر ، ثم يوصل القائمان بحبل يحدد الحدود ، وبوصل قائمان آخرين كانت المساحة تعلم كموقع للزراعة أو للبناء
تاريخه
في البداية كانت كل الهندسة تعتمد على الحدس والبديهة ، لكن معلما إغريقيا كان اسمه طاليس انكبَّ في عام (600) قبل الميلاد على إثبات المبادئ الهندسية بطريقة علمية ، وفي الهندسة تدعى الحقيقة " نظرية " واكتشف طاليس إثباتات لبعض النظريات فوضع بداية للهندسة الوصفية .
لكن اقليدس الإسكندري كان هو الذي منح الهندسة وضع العلم ، ففي عام (300) قبل الميلاد تقريبا جمع اقليدس كل النتائج الهندسية التي كانت معروفة حتى ذلك الوقت ، ثم نظمها بطريقة منهجية في سلسلة من (13) كتابا ، و أطلق على هذه الكتب اسم " المبادئ " ، وقد استخدمها العالم كافة قرابة (2000) ألفي عام في دراسة الهندسة ، وتطورت هندسة اقليدس على هذه المبادئ ، ومع مرور المزمن طور رياضيون مختلفون فروعا أخرى للهندسة ، ونحن في الوقت الحاضر ندرس أنواعاً كثيرة من الهندسة مثل الهندسة التحليلية ، وهندسة المثلثات ، وهندسة منكوفسكي(ذات الأبعاد الأربعة) ، والهندسة الّلا إقليديسية ، والهندسة الاسقاطية .
إننا نستخدم مبادئ الهندسة في كل حياتنا المعاصرة ، لوضع التصاميم والديكورات في المعمار والمناظر الطبيعية والحدائق ، هذا بالإضافة إلى أن الكثير من الأدوات التي يستخدمها المساحون مثل البوصلة والسدسية والمزولة و غيرها لها علاقة بالهندسة
الله على المشاركة الجميله جدا دى موضوع متميز جدااااا .... والله يا اخى فكرتنى بماده اسمها التاريخ الهندسى موضوع فعلا جميل ولا غنى عنه لكل من يريد التعرف على الهندسه عن قرب....شكرا اخى زناتى على الموضوع الممتاز ده....بارك الله فيك يا اخى.
قبل ما نكمل الحديث عن النظريات والقوانين في الهندسة الفراغية ناخذ وقفة بسيطة مع
اقليدس
عالم رياضيات إغريقي من اسكندرية القرن الثالث قبل الميلاد ، تنسب إليه أول معالجة موضوعية للهندسة في كتابه الأصول أو العناصر ، و يعالج هذا الكتاب كذلك التناسب و العدد بما في ذلك الأعداد اللامنطقية ، و لقد كتب إقليدس أعمالا في علم الفلك و القطوع المخروطية ، و قد وصل كتاب الأصول إلى الغرب مترجما عن العربية ، و أحدث تغييرا عميقا ، و لم تكن كتب الهندسة المدرسية ، و حتى وقت قريب إلا ترجمات لإقليدس
إقليدس (ولد عام 365 ق.م.) وضع نظام البديهيات. وجمع أقليدس عمله في الهندسة في كتاب أسماء الأصول. وقد أعتبرت هندسة أقليدس منذ ذلك العهد نموذجا للبرهان المنطقي.
ومن التعاريف التي وضعها أقليدس:
(النقطة هي ما لا يكون لها جزء) (المستقيم هو طول ليس له عرض)
أما البديهيات فقسمها الي بديهيات ومسلمات فمثلا من البديهيات:
1.الأشياء التي تساوي شيئا واحدا تكون متساوية. 2.إذا أضيفت متساويات الي متساويات فالمجموع يكون متساويا. 3.الأشياء التي تنطبق علي بعضها تكون متساوية. 4.الكل أكبر من الجزء.
ومن مسلمات أقليدس:
1.المستقيم يمكن ان يرسم من نقطة الي نقطة أخري. 2.القطعة المستقيمة المحدودة يمكن أن تمتد الي خط مستقيم. 3.كل الزوايا القائمة يساوي بعضها بعضا ..... وهكذا.
ويتكون النظام الهندسي لأقليدس من التعريفات والبديهيات والفروض والنظريات المشتقة.
بقيت هندسة إقليدس تدرس كما هي حتي القرن التاسع عشر حيث أكتشفت الهندسة اللا إقليديه
المنشور ينشأ من حركة مساحة مستوية على شكل مضلع في اتجاه عمودي على مستويها.
تسمى المساحة في وضع الأول والأخير بقاعدتي المنشور والمستقيم المتولد من حركة أي رأس يسمى حرفاً جانبياً ويعرف هذا بالمنشور القائمة.
وإن كانت الحركة للمساحة في اتجاه يميل على المستوى قيل أن المنشور مائل وفي الحالتين تكون الأحرف الجانبية متوازية ومتساوية وتعرف متوازيات الأضلاع الناشئة بالأوجه الجانبية للمنشور.
ويسمى المنشور حسب عدد أضلاع قاعدته فالمنشور الثلاثي ما كانت قاعدته مثلث والمنشور الرباعي ما كانت قاعدته شكل رباعي وارتفاعه العمود النازل من أي نقطة على أحد قاعدتيه على القاعدة الأخرى.
حجم المنشور = مساحة قاعدته × الارتفاع
المساحة الجانبية للمنشور المائل = محيط القاعدة × ارتفاعه الجانبي
المساحة الجانبية للمنشور القائم = محيط القاعدة × ارتفاعه (طول حرفه الجانبي)
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
متوازي السطوح:
منشور قاعدته متوازي أضلاع. (جميع أوجهه الجانبية متوازيات أضلاع)
أقطاره تتقاطع في نقطة واحدة منتصف كل منها
متوازي المستطيلات:
منشور رباعي قائم قاعدته مستطيل وبالتالي جميع أوجهه مستطيلات.
أقطاره متساوية ومربع أي منها يساوي مجموع مربعات ثلاث أحرف منه متلاقية في نقطة واحدة.
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع أو مساحة القاعدة × الارتفاع
يمكن اعتبار أي وجه في كل من متوازي السطوح أو متوازي المستطيلات قاعدة لمنشور رباعي.
المكعب:
متوازي مستطيلات جميع أحرفه متساوية.
مربع قطره يساوي 3 أمثال مربع طول ضلعه
حجم المكعب = ل*ل*ل حيث ل طول حرفه
المساحة الجانبية للمكعب = 4 ل2
المساحة الكلية للمكعب = 4 ل2 + 2 ل2 = 6 ل2 ( 2 ل2 مساحة القاعدتين)
الزاوية بين وجه في المنشور وقاعدته:
هي الزاوية الزوجية (ى) بين أحد الأوجه والقاعدة والمبينة بالشكل
حيث: ع ارتفاع المنشور.
عــ ارتفاعه الجانبي.
المنشور المائل يكافئ المنشور القائم الذي قاعدته المقطع القائم للمنشور المائل وارتفاعه يساوي الحرف الجانبي في المنشور المائل
الاسطوانة :
السطح الاسطواني ينشأ من حركة مساحة محدودة بمنحنى مقفل في اتجاه عمودي عليها ولا توجد أوجه جانبية بل سطح منحني يعرف بالسطح الاسطواني، وإن كان السطح المتحرك محدود بدائرة كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية قائمة وإن كانت الحركة في اتجاه يميل على السطح المتحرك كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية مائلة.
يمكن أن نقول الاسطوانة هي منشور قاعدتيه دائرتان وتتولد الاسطوانة الدائرية القائمة أيضاً من دوران مستطيل حول أحد بعديه دورة كاملة ويكون هذا البعد ارتفاع الاسطوانة (ع) والبعد الآخر نصف قطرها (نق).
وتتولد الاسطوانة عن حركة مستقيم مواز لنفسه قاطعاً محيط دائرة ويعرف هذا المستقيم براسم الاسطوانة.
يسمى البعد بين مركزي قاعدتي الاسطوانة(دائرتان) محور الاسطوانة.
إذا لم تكن قاعدتا الاسطوانة متوازيتان كانت الاسطوانة ناقصة، وذكر كلمة اسطوانة يعني اسطوانة دائرية قائمة تامة (كاملة).
حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع ( هي حالة خاصة من المنشور) المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع = 2 ط نق × ع = 2ط نق ع المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = 2 ط نق ع + 2 ط نق2 ( مساحة الدائرة = ط نق2 ) = 2ط نق( ع + نق)
إذا تساوى حجما اسطوانتين دائرتين قائمتين كانت النسبة بين مساحتيهما تساوي النسبة العكسية لنصفى قطري قاعدتيهما.
إذا تساوت المساحتان الجانبيتان لأسطوانتين دائرتين قائمتين كانت النسبة بين حجميهما كالنسبة بين نصفى قطري قاعدتيهما.
الهـرم :
إذا علم مضلع مستو ونقطة خارجة ووصلت برؤوس المضلع تكونت عدة مثلثات قواعدها أضلاع المضلع والجسم الذي تحدده سطوح هذه المثلثات وسطح المضلع يسمى هرم.
قاعدة الهرم هي ذلك المضلع والرأس المشترك للمثلثات هو رأس الهرم والمثلثات هي أوجه الهرم الجانبية والعمود النازل من رأس الهرم على قاعدته هو ارتفاع الهرم ويسمى الهرم حسب عدد أضلاع قاعدته فإن كانت مثلث قيل هرم ثلاثي ويسمى الهرم قائم إذا كان موقع العمود من الرأس على القاعدة وهي مضلع منتظم هو مركز القاعدة (المضلع المنتظم ما كانت أضلاعه وزواياه متساوية كالمثلث المتساوي الأضلاع).
إذا قطع الهرم بمستوى يوازي قاعدته نشأ هرم ناقص متوازي القاعدتين النسبة بين مساحتي القاعدتين كالنسبة بين مربعي بعديهما عن رأس الهرم.
حجم الهرم = 1/3 مساحة القاعدة × الارتفاع المساحة الجانبية للهرم = نصف محيط قاعدته × الارتفاع الجانبي المساحة الكلية للهرم = المساحة الجانبية + مساحة قاعدته .........._____
حجم الهرم الناقص المتوازي القاعدتين= 1/3ع( ق1 + ق2 + /\ ق1 ق2 ) ق1 ، ق2 مساحتي القاعدتين المساحة الجانبية للهرم الناقص المتوازي القاعدتين = نصف مجموع محيطي قاعدتيه × الارتفاع الجانبي المساحة الكلية للهرم الناقص المتوازي القاعدتين = المساحة الجانبية + مساحتي قاعدتيه
السطح المخروطي يتولد من حركة مستقيم مار بنقطة ثابتة وقاطع محنى مستوى معلوم.
فالمنحنى هو محيط قاعدة المخروط والمستقيم يسمى راسم السطح المخروطي ويسمى في أ وضع راسم وإن كان المنحنى دائرة قيل مخروط دائري وكذلك المخروط حالة خاصة من الهرم قاعدته دائرة وإذا مر الارتفاع بمركز القاعدة قيل مخروط دائري قائم.
ومقطع المخروط الناشئ من قطعه بمستوى يمر برأسه والقاعدة هو مثلث متساوي الساقين وإذا قطع المخروط بمستوى يوازي القاعدة نشأ المخروط الدائري المتوازي القاعدتين، كما ينشأ المخروط الناقص الدائري القائم من دوران شبه منحرف قائم حول ارتفاعه دورة كاملة. كما يتولد المخروط الدائري القائم من دوران مثلث قائم حوا أحد ضلعي القائمة.
حجم المخروط الدائري القائم =1/3 مساحة القاعدة × الارتفاع حجم المخروط الدائري القائم = 1/3ط نق2× ع حجم المخروط الدائري القائم = 1/3 ط ع3 طا2هـ حيث هـ الزاوية نصف الرأسية حجم المخروط الدائري القائم =1/3 ط نق3 طتاهـ حجم المخروط الدائري القائم الناقص = 1/3 ط ع [ (نق1)2 + نق1 نق2 + (نق2)2 ] المساحة الجانبية للمخروط الدائري القائم = نصف محيط قاعدته × طول راسمه = ط نق ل حيث ل طول راسم المخروط ................ـــــــــــــــــــــــــــ = ط نق /\ نق2 + ع2 المساحة الجانبية للمخروط الناقص المتوازي القاعدتين = نصف مجموع محيطي قاعدتيه المتوازيتين × طول حرفه = ط ( نق1 + نق2) × ح المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة للمخروط الدائري القائم المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين للمخروط الدائري القائم الناقص المتوازي القاعدتين
الكــــــــــــــــــــــرة
الكرة جسم محدد بسطح مقفل وجميع نقطه تقع على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة.
تسمى النقطة الثابتة بمركز الكرة والبعد الثابت بنصف قطر الكرة (نق). وتنشأ الكرة من دوران نصف دائرة دورة كاملة حول قطرها. المقطع الحادث من قطع الكرة بمستوى يمر بمركزها هو دائرة نصف قطرها يساوي نصف قطر الكرة ، تسمى هذه الدائرة بالدائرة العظمى ويسمى المستوى بالمستوى المركزي أو القطري إذا قطع كرة مستوى فالمستوى الحادث محيط دائرة صغرى ( المستوى لا يمر بالمركز)
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2
الكرة الناقصة :
هي الواقعة بين مستويين متوازيين قاطعين للكرة. يسمى المقطعان بالقاعدتين والبعد بينهما بالارتفاع.
يسمى السطح الكروي للكرة الناقصة بالمنطقة الكروية.
القطعة الكروية : إذا قطعت الكرة بمستو غير مار بالمركز انقسمت إلى جزأين يسمى كل منهما قطعة كروية ويكون المقطع قاعدة القطعة الكروية والعمود المقام من مركز المقطع (دائرة) ملاقي محيط الكرة في نقطة هو ارتفاع القطعة الكروية ( ن هـ في الشكل ). يسمى السطح الكروي للقطعة الكروية بالطاقية الكروية، وهي حالة خاصة من المنطقة باعتبار أحد قاعدتيها مماس للكرة.
مساحة المنطقة الكروية = 2 ط نق ع حيث نق نصف قطر الكرة ، ع ارتفاع المنطقة الكروية. مساحة الطاقية الكروية = 2 ط نق ع حيث نق نصف قطر الكرة ، ع ارتفاع القطعة الكروية.
حجــم المنطقة الكروية = ط ع /6[ 3{(نق1)2 +(نق2)2 } + ع2] ............ (1) بوضع نق2 = صفر في (1) فإن المنطقة الكروية تؤول إلى قطعة كروية نصف قطر قاعدتها نق1 وارتفاعها ع فإن :
حجــم القطعـة الكروية =ط ع/6[ 3 (نق1)2 + ع2]
بوضع نق2 = 0 ، نق1 = نق في (1) فإن ع تؤول إلى نق والمنطقة الكروية تؤول إلى نصف كرة نصف قطرها نق ومنها:
سنتكلم ان شاء الله عن مبادئ الرياضيات الان قليلا ونترك الهندسة سنتكلم عن العديد من الاشياء مثل الاحتمالات و المتتاليات والتباديل والتوافيق والدوال ........الخ ونبدأ بالاحتمالات
الاحتمالات عملية تغليب حدث مرتقب على حدث آخر. فمثلاً، عندما تقول إن واقعة ما أكثر احتمالاً من أخرى فذلك يعني أنها أكثر توقعًا في الحدوث.
ويحاول فرع الرياضيات المسمى نظرية الاحتمالات ، أن يعبر بالأرقام عن صيغ مثل الواقعة (أ) أكثر احتمالاً من الواقعة (ب). فإذا قذف شخص عملة في الهواء، فستكون عند سقوطها إما على وجه الصورة أو على وجه الكتابة.
وهنا نقول إن احتمال سقوطها على أي وجه من الاثنين مساوٍ للاحتمال الآخر.
وحينئذ نقول: إن احتمال سقوطها على وجه الصورة يكون ½. فإذا تقرر قذف العملة مائة مرة وفرضنا أن (س) هي عدد مرات سقوطها على وجه الصورة، من المتوقع أن تكون النسبة س/100 قريبًا من ½. وعموماً إذا افترضنا أن عدد مرات قذف العملة (ن) وكانت (س) هي عدد مرات سقوط وجه الصورة تكون النسبة س/ن قريبًا جدًا من ½ إذا كان ن عددًا كبيرًا.
لنفترض أن شخصًا يقذف بثلاث قطع معدنية في وقت واحد، بفرض أن وجه الصُّورة لأعلى (س) ووجه الكتابة (ص). هناك ثماني نتائج ممكنة:
س س س س س ص س ص س ص س س س ص ص ص س ص ص ص س ص ص ص
ويلاحظ أن ثلاثًا من هذه النتائج بها 2س ( أي وجه الصورة)، وبذلك يكون احتمال سقوط قطعتين بوجه الصورة لأعلى 3/8 وناتجٌ واحد به سقوط بوجه الصورة لأعلى في القطع الثلاث معًا، لذلك فإن احتمال هذه النتيجة 1/8.
لذلك فإن واقعة سقوط وجهين بالصورة لأعلى أكثر احتمالية من واقعة حدوث سقوط الثلاثة وجوه بالصور لأعلى. فإذا قذفنا بثلاث قطع معدنية عددًا كبيرًا من المرات، فإن احتمال سقوط قطعتين بوجه الصورة 3/8 ، وسقوط ثلاث قطع بوجه الصورة لأعلى 1/8 من المرات.
والاحتمالات هي أساس علم الإحصاء، فمثلاً من الممكن أن يجمع عالم في السياسة معلومات، ثم يستخدم علم الإحصاء للتنبؤ بالنسبة المئوية من الناخبين الذين سينتخبون مرشحًا معينًا في الانتخابات. ويستخدم العالم نظرية الاحتمالات لحساب الأخطاء الممكنة لتقديراته.
وفي كل من هذه المتواليات، تتكون الحدود التالية للحد الأول بطرق مختلفة تُسمَّى الفارق المشترك، أو أساس المتوالية.
ويتكون كل حد في المتوالية العددية بإضافة كمية ثابتة إلى الحد الأسبق. وفي المثال الفارق المشترك هو واحد.
ويتكون كل حد في المتوالية الهندسية، بضرب الحد الأسبق في كمية تسمى النسبة المشتركة. (أساس المتوالية الهندسية) وفي المثال، النسبة المشتركة هي 2. أما في المتوالية التوافقية فكل حد هو كسر اعتيادي، والبسط فيه قيمته واحد. والمقام يتكون بنفس طريقة المتوالية العددية، وفي المثال الفارق المشترك للمقام هو 2.
والمتواليات مفيدة في حل كثير من المشاكل في العلم ومجال الأعمال. فمثلا تُسهل المتواليات حساب الفائدة المركبة وقد طور علماء الرياضيات صيغًا لإيجاد قيمة أي حد في المتوالية ولإيجاد مجموع أي عدد من الحدود.
المتوالية الحسابية. قد يكون للمتوالية الحسابية أكثر من حد أول، وأكثر من فارق مشترك. ويتضح ذلك في الأمثلة التالية:
رقم المثال الحد الأول الفارق المشترك المتوالية الحسابية أ 2 3 2، 5، 8، 11، 14، 17 ب 3 -2 3، 1، -1، -3، -5. جـ 1 1/2 1، 1/2 1 ، 2 ، 1/2 2 ، 3. د س ص س،س+ص، س+2ص، س+ 3ص.
ففي المثال أ قيمة الحد الرابع 11 أي تُساوي 2 + 3 + 3 + 3. ويمكن كتابتها بالشكل الآتي 2+(4- 1) 3. ويمكن إيجاد قيمة أي حد بجمع الأول مع حاصل ضرب الفرق المشترك في عدد الحدود ناقص واحد. والحد الأخير أو المجهول هو ل ن
ل ن = أ + (ن -1) د
ومجموع الحدود الستة الأولى للمثال هي:
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57. لاحظ أن مجموع الحد الأول والحد الأخير 19، وكذلك مجموع الحد الثاني والحد الخامس 5 + 14 = 19 ومجموع الحد الثالث والرابع هو 8 + 11 = 19 ومجموع الحدود الستة 57، وهو مايساوي 19× 3 أو ثلاثة أضعاف الحد الأول والأخير. وعموماً فإن مجموع أي عدد من الحدود للمتوالية الحسابية، هو نصف عدد الحدود مضروباً في مجموع الحدين الأول والأخير. فإذا استخدمنا الرمز من لمجموع الحدود، تكون المعادلة المطلوبة:
من = ن/2 م ن= ( أ + ل ن ) المتوالية الهندسية. يمكن أن يتنوع فيها الحد الأول والنسبة المشتركة (أساس المتوالية) كما يتضح في المثال الآتى:
ويبين المثال ج أن قيمة أي حد مجهول = أ سن -¥ والأس ن-1، يعني أن س تُستخدم عاملاً ن-1 مرة. وباستخدام هذه المعادلة يمكن حساب الحد السادس في المثال كالآتي:
ل6 =2(3)¹ = 2 × 3 × 3 × 3× 3× 3 = 486
كما أن مجموع أي عدد من الحدود يمكن حسابه بالمعادلة
من = (أ- أ سن) / (أ - س)
فمثلاً مجموع الحدود الأربعة الأولى من المثال أ ُتُحسب كالآتي:
م4= [2-2(3) ¨] / (1-3) = (2-162) / -2 = 80
فإذا كانت س أقل من واحد صحيح، فإن مجموع عدد لانهائي من الحدود يقترب من النهاية أ/ (1- س).
اخي العزيز زناتي
موضوع حقا يستحق القرائه المتأنيه الواحد من دوامه الشغل نسي الكلام النظري شكرا جزيلا كنت اتمني ان يكون عندي الوقت الكافي لكي اقرا الموضوع بتاني ولكن للاسف العمل لايرحم جزاك الله خيرا
